微分の定義を用いる積分

問題

　極限値$\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle\frac{1}{x}\displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}+x}(1+\sin t)^4dt$を求めよ．

【東京電機大学　2020】

解答

　$(1+\sin t)^4$の原始関数の1つを$F(t)$とおくと，

　　　　$\displaystyle\frac{1}{x}\displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}+x}(1+\sin t)^4dt=\displaystyle\frac{1}{x}\left[F(t)\right]_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}+x}$

　　　　　　　　　　　　　　　　$=\displaystyle\frac{F(\displaystyle\frac{\pi}{2}+x)-F(\displaystyle\frac{\pi}{2})}{x}$

　よって，

　　　　$\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle\frac{1}{x}\displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}+x}(1+\sin t)^4dt=F'(\displaystyle\frac{\pi}{2})$

　　　　　　　　　　　　　　　　　　$=(1+\sin\displaystyle\frac{\pi}{2})^4$

　　　　　　　　　　　　　　　　　　$=16$