数学III　微分・積分【長崎大　2012】

　私はこの問題が非常に好きです．微分・積分計算、誘導への乗り方、区分求積法を問うことのバリュエーションの豊富さが素敵です（笑）．その割に難易度が標準的であり綺麗な問題だなと思ってます．入試問題見てて，難易度を上げ過ぎず色々なことを問うことのできる問題って少ないと思ってます．

　この問題で得られるもの

・tanを用いる置換積分の確認

・部分積分の確認

・数年に一度出る不定積分の確認（QuizKnockの動画で須貝くんが東大生100人にこれの積分をできるか問うと14人（14%）の人しかできなかったみたいです）

・区分求積法→私立の小問で見るレベルの見た目をしてますが、勿論誘導ありきの問題です．

問題

(1)　$I_1=\displaystyle\int_{0}^{\sqrt{3}}\displaystyle\frac{dx}{x^2+1}$とする．$x=\tan\theta$とおくことにより，$I_1=\displaystyle\frac{\pi}{3}$を示せ．

(2)　(1)の$I_1$を部分積分して，$I_1$と$I_2=\displaystyle\int_{0}^{\sqrt{3}}\displaystyle\frac{dx}{(x^2+1)^2}$の関係式を導き，$I_2$の値を求めよ．

(3)　$t=x+\sqrt{x^2+1}$とおくことにより，不定積分$\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}$を求めよ．

(4)　合成関数の微分法を用いて，関数$y=\log(x+\sqrt{x^2+1})$の導関数を求めよ．

(5)　極限値$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\{\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n^2+1^2}}+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n^2+2^2}}+\cdots+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n^2+n^2}}\displaystyle\}$を求めよ．