数列漸化式シリーズ - 個人投資家たくやの高校数学・大学入試数学

漸化式とは

　ざっくりいうと、ある項とある項の関係を表したものです．よく出題される、第 $n$ 項と第 $(n + 1)$ 項の関係を表したものを、隣接2項間の漸化式です．そのため、第 $n$ 項と第$(n-2)項との関係を表したものも漸化式と呼びます．入試に必要な漸化式を紹介していきます．

　 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + 3^{n}$ $(n = 1, 2, 3, \dots) で定められる数列$ \{a_n\}$において，一般項を求めよ．

【東北芸工大学　一部抜粋　2020】

　 $a_{n + 1} - a_{n} = 3^{n}$ より，数列 ${a_{n}}$ は階差数列であることが分かる．よって， $n ≧ 2$ のとき，

　　　 $a_{n} = a_{1} + \sum_{k = 1}^{n - 1} 3^{k}$

　　　　　 $= 1 + 3 ・ \frac{3^{n - 1} - 1}{3 - 1}$

　　　　　 $= 1 + \frac{3^{n} - 3}{2}$

　　　　　 $= \frac{3^{n} - 1}{2} (n ≧ 2) \dots ➀$

　 $n = 1$ のときも➀は成り立つ．よって，

$a_{n} = \frac{3^{n} - 1}{2}$ 　(答)

　数列 ${a_{n}}$ があり， $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 2 (n = 1, 2, 3, \dots)$ である．このとき，数列 ${a_{n}}$ の一般項 ${a_{n}}$ を求めよ．

【同志社女子大学　2020】

　 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 2 \dots ➀$

*ここからの部分は実際の解答では書かないように

　➀に対して， $α = 2 α + 2$ を考えると， $α = - 2$ となる．

ここまでは書かない

　➀は

$a_{n + 1} + 2 = 2 (a_{n} + 2)$

と変形できる．ここで，数列 ${a_{n} + 2}$ は初項 $a_{1} + 2 = 3$ ，公比2の等比数列であるから，

$a_{n} + 2 = 3 ・ 2^{n - 1}$

$a_{n} = 3 ・ 2^{n - 1} - 2$ （答)

漸化式パターンは此方からご確認ください！