数列 漸化式シリーズ

攻略
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漸化式とは

 ざっくりいうと、ある項とある項の関係を表したものです.よく出題される、第n項と第(n+1)項の関係を表したものを、隣接2項間の漸化式です.そのため、第n項と第$(n-2)項との関係を表したものも漸化式と呼びます.入試に必要な漸化式を紹介していきます.

問題1

 a1=1an+1=an+3n (n=1,2,3,)\{a_n\}$において,一般項を求めよ.

【東北芸工大学 一部抜粋 2020】

解答1

 an+1an=3nより,数列{an}は階差数列であることが分かる.よって,n2のとき,

   an=a1+k=1n13k

     =1+33n1131

     =1+3n32

     =3n12 (n2)

 n=1のときも➀は成り立つ.よって,

an=3n12 (答)

問題2

 数列{an}があり,a1=1an+1=2an+2(n=1,2,3,)である.このとき,数列{an}の一般項{an}を求めよ.

【同志社女子大学 2020】

解答2

 a1=1an+1=2an+2

*ここからの部分は実際の解答では書かないように

 ➀に対して,α=2α+2を考えると,α=2となる.

ここまでは書かない

 ➀は

an+1+2=2(an+2)

と変形できる.ここで,数列{an+2}は初項a1+2=3,公比2の等比数列であるから,

an+2=32n1

an=32n12 (答)

漸化式パターンは此方からご確認ください!

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