対数微分

問題

(1)　$x>0$において，関数$f(x)=({\displaystyle \frac{1}{x}{)}^{\log x}}$を微分せよ．

【大阪府立大学　2020 一部抜粋】

解答

(1)　$f(x)=({\displaystyle \frac{1}{x}{)}^{\log x}}$の両辺の自然対数を考えると，

　$\log f(x)=(\log x)\cdot (\log {\displaystyle \frac{1}{x})=-(\log x{)}^2}$

　この両辺を$x$で微分すると，

${\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=-2\log x\cdot {\displaystyle \frac{1}{x}=-{\displaystyle \frac{2\log x}{x}}}}$

　　　　　　　$\therefore f^{\prime }(x)=-{\displaystyle \frac{2\log x}{x}f(x)}$

　　　　　　　　　　　$=-2(\log x)({\displaystyle \frac{1}{x}{)}^{\log x+1}}$