はじめに
何度も申し上げておりますが、入試において関数は得点源にしやすいジャンルです。そのため、しっかり見ていきましょう。
問題
$a$を実数とし，関数$f(x)$を$f(x)=a(\sin x+\cos x)-\sin x\cos x$によって定義する。ただし，$x$は実数全体を動くとする。
(1) $t=\sin x+\cos x$のとりうる値の範囲を求めよ。
(2) $f(x)$の最大値が3となるときの$a$の値を求めよ。
【北海道大学 2006】
解答
(1) $t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin (x+\dfrac{\pi}{4})$
$x$はすべての実数をとるから
$-1≦\sin (x+\dfrac{\pi}{4})≦1$
よって，
$-\sqrt{2}≦\sin (x+\dfrac{\pi}{4})≦\sqrt{2}$
ゆえに
$-\sqrt{2}≦t≦\sqrt{2}$
(2) $t^2=\sin^2x+2\sin x\cos x+\cos^2x$
すなわち
$t^2=1+2\sin x\cos x$であるから
$\sin x\cos x=\dfrac{1}{2}(t^2-1)$
よって
$f(x)=at-\dfrac{1}{2}(t^2-1)=-\dfrac{1}{2}(t-a)^2+\dfrac{a^2+1}{2}$
$g(t)=f(x)=-\dfrac{1}{2}(t-a)^2+\dfrac{a^2+1}{2}$ ($-\sqrt{2}≦t≦\sqrt{2}$)とおく．
[i] $a<-\sqrt{2}$ のとき，$g(t)$は$t=-\sqrt{2}$で最大となる．
$g(-\sqrt{2})=3$ から
$-\sqrt{2}a-\dfrac{1}{2}=3$
よって，$a=-\dfrac{7\sqrt{2}}{4}$ ($a<-\sqrt{2}$を満たす)
[ii] $-\sqrt{2}≦a≦\sqrt{2}$のとき，$g(t)$は$t=a$で最大となる．
$g(a)=3$から
$\dfrac{a^2+1}{2}=3$
よって，$a=±\sqrt{5}$ ($-\sqrt{2}≦a≦\sqrt{2}$を満たさず不適）
[iii] $\sqrt{2}<a$のとき，$g(t)$は$t=\sqrt{2}$で最大となる．
$g(\sqrt{2})=$3から
$\sqrt{2}a-\dfrac{1}{2}=3$
よって， $a=\dfrac{7\sqrt{2}}{4}$ ($\sqrt{2}<a$ を満たす)
[i]～[iii]より，求める$a$の値は
$a=±\dfrac{7\sqrt{2}}{4}$
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