漸化式　誘導付き

導入

　このタイプは毎年、国公立大学・私立大学問わずどこかで出題されております．もしかしたら、これを見ている受験生の方が受ける大学で出る可能性も・・・．一度は解いておかないと、変形の仕方が分からないと思うので、かならず解いておいてください．

問題

　数列$\{a_n\}$が$a_1$，$a_{n+1}=5-\displaystyle\frac{6}{a_n} (n=1, 2, 3, \cdots)$を満たすとき，次の問に答えよ．

(1)　$a_2$を求めよ．

(2)　$b_n=\displaystyle\frac{1}{a_n-3}$とおくとき，$b_{n+1}$を$b_n$の式で表せ．ただし，$a_n≠3$である．

(3)　$b_n$を$n$の式で表せ．

(4)　$a_n$を$n$の式で表せ．

【東京電機大学 2020】

解答

(1)　$a_2=5-\displaystyle\frac{6}{a_1}=5-\displaystyle\frac{6}{1}=-1$

(2)　$a_{n+1}=5-\displaystyle\frac{6}{a_n} \cdots➀$

　　 $b_{n}=\displaystyle\frac{1}{a_n-3} \cdots➁$とする．

　➀，➁より，

　　　　　$b_{n+1}=\displaystyle\frac{1}{a_n-3}$

　　　　　　 　$=\displaystyle\frac{1}{5-\displaystyle\frac{6}{a_n}-3}$

　　　　　　 　$=\displaystyle\frac{a_n}{2a_n-6}$

　　　　　　 　$=\displaystyle\frac{(a_n-3)+2}{2(a_n-3)}$

　　　　　　 　$=\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{3}{2(a_n-3)}$

∴ $b_{n+1}=\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{3}{2}b_n$

(3)　$b_{n+1}=\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{3}{2}b_n$を変形すると，

　　$b_{n+1}+1=\displaystyle\frac{3}{2}(b_n+1)$

　ここで，数列$\{b_n+1\}$は初項$b_1+1$，公比$\displaystyle\frac{3}{2}$の等比数列である．また，$b_1=\displaystyle\frac{1}{a_1-3}=\displaystyle\frac{1}{1-3}=-\displaystyle\frac{1}{2}$ となるので，数列$\{b_n+1\}$の一般項は，

$b_n=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot(\displaystyle\frac{3}{2})^{n-1}-1$

(4)　➁より，$a_n-3=\displaystyle\frac{1}{b_n}$

　　　　　$a_n=\displaystyle\frac{1}{b_n}+3$

　　　　　　 　$=\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{2}\cdot(\displaystyle\frac{3}{2})^{n-1}-1}+3$

　　　　　　 　$=\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{3^{n-1}}{2^n}-1}+3$

　　　　　　 　$=\displaystyle\frac{2^n}{3^{n-1}-2^n}+3$

　　　　　　 　$=\displaystyle\frac{3^n-2^{n+1}}{3^{n-1}-2^n}$ (答)