問題
0, 2, 3, 7, 9から異なる3つの数字を選んで3桁の整数をつくる．
(1) 作られる整数は全部で何個か．
(2) (1)のうち，3の倍数は全部で何個か．
【日本大学 2020（一部文言変更）】
解答
(1) 百の位で選べる数は0以外の4通りある．十の位，一の位はそれぞれ百の位で選んだ数以外の数の4つから2つを選んで並べればよい．よって，
$4×_4C_2×2!=48$個
(2) 整数が3の倍数であるかどうかは各桁の数を足し合わせて，3の倍数になるかどうかで判断できる．そのため，3で割った余りで分類する．
余り0→$A=\{0, 3, 9\}$
余り1→$B=\{7\}$
余り2→$C=\{2\}$
よって，3の倍数になるためには
➀ 3つともAの要素
➁ A・Ｂ・Ｃの要素がそれぞれ１つずつ
となればよい．すなわち「0, 3, 9」，「0, 7, 2」，「3, 7, 2」，「9, 7, 2」を選んで3桁の整数を作ればよい．
(i) 「0, 3, 9」，「0, 7, 2」を選ぶ場合
$2×2!×2=8$個
(ii) 「3, 7, 2」，「9, 7, 2」を選ぶ場合
$3!×2=12$個
(i)，(ii)より，
$8+12=20$個
コメント