積分計算

問題

　${\displaystyle {\int }_0^{2\sqrt{3}}{\displaystyle \frac{dx}{4+x^2}}}$を計算せよ．

【福岡大学　2020】

解答

　$x=2\tan \theta$とする．

　$dx={\displaystyle \frac{2}{{\cos }^2\theta }d\theta }$

・積分区間について

　$x：0\to 2\sqrt{3}$のとき，$\theta ：0\to {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$となる．

　${\displaystyle {\int }_0^{2\sqrt{3}}{\displaystyle \frac{dx}{4+x^2}={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{3}}{\displaystyle \frac{1}{4(1+{\tan }^2\theta )}\cdot {\displaystyle \frac{2}{{\cos }^2\theta }d\theta }}}}}$

　　　　　　　　$={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{3}}{\displaystyle \frac{1}{2}d\theta }}$

　　　　　　　　$={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$　（答)