条件付き確率

問題

　出る目の確率が次のようさいころが1つある．

・1，3の目が出る確率はそれぞれ　${\displaystyle \frac{1}{12}}$

・5の目が出る確率は　${\displaystyle \frac{1}{3}}$

・2，4，6の目が出る確率はそれぞれ　${\displaystyle \frac{1}{6}}$

　そこで，さいころを1回振り，出た目を$A$とし，$A$を3で割った余りを$X$とする．次にもう1回さいころを振り，出た目を$B$とし，$A+B$を3で割った余りを$Y$とする．

(1)　事象$X=Y=0$が起こる確率を求めよ．

(2)　事象$X+Y=3$が起こる確率を求めよ．

(3)　事象$X+Y=3$が起こったという条件のもとでの，$X=1，Y=2$である条件付き確率を求めよ．

【宮崎大学　2005】

解答

(1)　$X=Y=0$となるのは，$A，B$がともに3で割り切れるときである．すなわち，

$(A,B)=(3,3),(3,6),(6,3),(6,6)$

　のときであるから

$P(X=Y=0)={\displaystyle \frac{1}{12}}\times {\displaystyle \frac{1}{12}}+{\displaystyle \frac{1}{12}}\times {\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}\times {\displaystyle \frac{1}{12}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}\times {\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{1}{16}}$

(2)　$X+Y=3$となるのは，[1]$X=1,Y=2$または[2]$X=2，Y=1$のときである．

　　[1]$X=1，Y=2$のとき

　　　$(A,B)=(1,1)，(1,4)，(4,1)，(4,4)$のときであるから

　　　$P(X=1，Y=2)={\displaystyle \frac{1}{12}}\times {\displaystyle \frac{1}{12}}+{\displaystyle \frac{1}{12}}\times {\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}\times {\displaystyle \frac{1}{12}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}\times {\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{1}{16}}$

　　[2]$X=2，Y=1$のとき

　　　$(A,B)=(2,2),(2,5),(5,2),(5,5)$のときであるから

　　　$P(X=2,Y=1)={\displaystyle \frac{1}{6}}\times {\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}\times {\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\times {\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\times {\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$

　[1]，[2]から，$X+Y=3$となるのは　${\displaystyle \frac{1}{16}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{5}{16}}$

(3)　$X+Y=3$となる事象を$E$，$X=1,Y=2$となる事象を$F$とする．

　(2)から　

$P(E)={\displaystyle \frac{5}{16}}$，$P(E\cup F)=P(F)={\displaystyle \frac{1}{16}}$

　よって，求める条件付き確率は

$P_E(F)={\displaystyle \frac{P(E\cup F)}{P(E)}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{16}}}{{\displaystyle \frac{5}{16}}}}={\displaystyle \frac{1}{5}}$

余談

　2006～2014年入試が旧課程となっておりますが，2005以前も旧々課程となっており複素数平面が数学Bにあったりしました（2015年入試より数学IIIで復活）．今回の問題はその名残がある条件付き確率確率の問題（2005年）となっております。