整式の割り算

問題

　$x^{100}$を$x^2+x+1$で割った時の余りはいくつか．

【関西大学　2010】

解答

　$x^{100}$を$x^2+x+1$で割った時の商を$P(x)$，余りを$ax+b$（$a$，$b$は実数）とすると

$x^{100}=(x^2+x+1)P(x)+ax+b \cdots ➀$

　$x^2+x+1=0$の解の1つを$\omega$とすると，$\omega$は虚数で

${\omega }^2+\omega +1=0$

　よって，${\omega }^3-1=(\omega -1)({\omega }^2+\omega +1)=0$であるから，${\omega }^3=1$

　➀に$x=\omega$を代入すると

${\omega }^{100}=a\omega +b$

　${\omega }^{100}=({\omega }^3{)}^{3}3\cdot \omega =\omega$であるから，

$\omega =a\omega +b$

　よって，$(1-a)\omega =b$

　ここで，$1-a$，$b$は実数で$\omega$は虚数であるから，

$1-a=0$、$b=0$

　よって，$a=1$，$b=0$

　ゆえに余りは$x$