積分方程式

問題

　$f(x)=\cos x+{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\{f(t)-2\sin x\}dt}$のとき，${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(x)dx}$の値を求めよ．

【中部大学　2020】

解答

　$a={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(t)dt\cdots ➀}$とおくと，

$f(x)=\cos x-\pi \sin x+a$

　これを➀に代入して．

　　　　　　$a={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(\cos t-\pi \sin x+a)dt}$

　　　　　　　$={\displaystyle [\sin t+\pi \cos t+at{\displaystyle {]}_0^{\frac{\pi }{2}}}}$

　　　　　　　$=1+{\displaystyle \frac{\pi }{2}a-\pi }$

　よって，

$({\displaystyle \frac{\pi }{2}-1)a=\pi -1}$

$a={\displaystyle \frac{2\pi -2}{\pi -2}}$