積分方程式2-2

前回は

積分方程式2-1

問題　次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．(1)　$f(x)=e^x+3{\displaystyle {\int }_0^{1}tf(t)dt}$を満たす関数$f(x)$を求めよ．(2)は次の更新で！解答(1)　$f(x)=e^x

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(1)はこちらに記載しております。積分方程式シリーズも大詰めですね。まとめを作成していけたらいいのですが(;´･ω･)・・・

問題

(2)　$a$，$b$を実数とする．$g(x)=a{e}^x+b{\displaystyle {\int }_0^{1}tg(t)dt}$を満たす関数$g(x)$が存在しないような点$(a,b)$全体の集合を図示せよ．

【和歌山大学　2020】

解答

(2)　$g(x)=a{e}^x+b{\displaystyle {\int }_0^{1}tg(t)dt \cdots \mathrm{④}}$

　ここで，

$B={\displaystyle {\int }_0^{1}tg(t)dt \cdots ➄}$

とすると，④は

$g(x)=a{e}^x+bB \cdots ➅$

となる。このとき，

　　　　　　${\displaystyle {\int }_0^{1}tg(t)dt={\displaystyle {\int }_0^1(at{e}^t+bBt)dt}}$

　　　　　　　　　　　　$=[a(t{e}^t-e^t)+{\displaystyle \frac{1}{2}bB{t}^2{]}_0^1}$

　　　　　　　　　　　　$={\displaystyle \frac{1}{2}bB+a}$

となるので，➄より，

$a={\displaystyle \frac{1}{2}bB+a}$

$(2-b)B=2a \cdots \mathrm{⑦}$

　④をいたす関数$g(x)$が存在しない条件は，⑦を満たす$B$が存在しないことである．すなわち，

$2-b=0$かつ$2a\ne 0$

　よって，

$b=2$かつ$a\ne 0$

であるから，点$(a,b)$全体の集合は下図の太線部(○部を除く）となる．