放物線と円の関係

問題

　$xy$平面において，放物線と円$C: y=x^2-2$，$S: x^2+y^2=1$を考え，放物線$C$上の相異なる3点P，Q，Rをとる．ただし，$t>1$として，点Pの$x$座標は$t$であるとする．また，直線PQ，PRの傾きをそれぞれ$m_1$，$m_2$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　点Qの$x$座標を$t$，$m_1$を用いて表せ．

(2)　直線QRの方程式を$t$，$m_1$，$m_2$を用いて表せ．

(3)　点Pを通る傾き$m$の直線が円$S$に接する必要十分条件を，$m$に関する2次方程式で書き表せ．

(4)　直線PQ，PRはどちらも円$S$に接しているとする．このとき，直線QRも円$S$に接することを示せ．

【埼玉大学　2020】

解答

　$l:y=mx+n$と$C:y=x^2-2$の交点の$x$座標は2次方程式$x^2-mx-n-2=0 \cdots➀$の解となる．

(1)　Qの$x$座標を$q$とする．$l$を直線PQとすると，$m=m_1$で，➀の解は$t$，$q$となる．

　解と係数の関係より

$t+q=m_1$

$∴q=m_1-t$

(2)　Rの$x$座標を$r$とすると，(1)と同様に，

$r=m_2-t$

　$l$を直線QRとすると，➀の解と係数の関係より，

$q+r=m$

$qr=-n-2$

$∴m=m_1+m_2-2t$，$n=-(m_1-t)(m_2-t)-2$

　直線QRの方程式は

$y=(m_1+m_2-2t)x-(m_1-t)(m_2-t)-2$

となる．

(3)　Pを通る傾き$m$の直線は$y=m(x-t)+t^2-2$と表せる．

　これが$S:x^2+y^2=1$に接するための必要十分条件は，

（Oと直線の距離）$=$（Sの半径）

$\displaystyle\frac{|-mt+t^2-2|}{\sqrt{m^2+1}}=1$

$(-mt+t^2-2)^2=m^2+1$

　これを整理すると

$(t^2-1)m^2-2t(t^2-2)m+t^4-4t^2+3=0 \cdots➁ $

(4)　PQ，PRがどちらもSに接するとき，➁の解は$m_1$，$m_2$，解と係数の関係より，

$m_1+m_2=\displaystyle\frac{2t(t^2-2)}{t^2-1}$

$m_1m_2=\displaystyle\frac{t^4-4t^2+3}{t^2-1}=t^2-3$

　これらと(2)より，QRの方程式を求める．

$m_1+m_2-2t=2t(\displaystyle\frac{t^2-2}{t^2-1}-1)=\displaystyle\frac{-2t}{t^2-1}$

$-(m_2-t)(m_1-t)-2=(m_1+m_2)t-m_1m_2-t^2-2$

　　　　　　　　　　　 　$=\displaystyle\frac{2t^2(t^2-2)}{t^2-1}-2t^2+1=\displaystyle\frac{-t^2-1}{t^2-1}$

であるから，QRの方程式は

$2tx+(t^2-1)y+t^2+1=0

　OとQRの距離は

$\displaystyle\frac{|t^2+1|}{\sqrt{4t^2+(t^2-1)^2}}=\displaystyle\frac{t^2+1}{\sqrt{(t^2+1)^2}}=1=$（$S$の半径）

であるから，QRも$S$に接することが示された．