空間ベクトル　内積　垂直条件【三重大学　2011】

四面体$OABC$において，$OA=OC=\sqrt{2}$，$OB=\sqrt{5}$，$AB=3$であり，$\mathrm{\angle }AOC=\mathrm{\angle }AOC={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$であるとする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{OC}$として以下の問いに答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{a}\mathrm{・}\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a}\mathrm{・}\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{b}\mathrm{・}\overrightarrow{c}$を求めよ．

(2)　線分$AB$を$1:2$に内分する点を$D$とし，点$O$から直線$CD$に引いた垂線と直線$CD$の交点を$H$とするとき，$\overrightarrow{OH}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．また$|\overrightarrow{OH}|$を求めよ．

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